Рівняння xʸ = yˣ

Хоча операція піднесення до степеня не є комутативною, рівність $x^{y}=y^{x}$ виконується для деяких пар $(x,y),$ наприклад, $x=2,y=4.$

Історія

Рівняння $x^{y}=y^{x}$ згадано в листі Бернуллі до Гольдбаха (29 червня 1728 року). У листі сказано, що за $x\neq y$ пара $(2,4)$ — єдиний (з точністю до перестановки) розв'язок у натуральних числах, хоча існує безліч розв'язків у раціональних числах. У листі у відповідь Гольдбаха (31 січня 1729) міститься загальний розв'язок рівняння, отриманий заміною $y=vx.$ Аналогічний розв'язок надав Ейлер. І. ван Генгель (J. van Hengel) вказав, що якщо $r,n$ — додатні цілі, $r\geqslant 3$ або $n\geqslant 3,$ то $r^{r+n}>(r+n)^{r},$ отже, для розв'язання рівняння в натуральних числах достатньо розглянути випадки $x=1$ і $x=2.$

Задачу неодноразово розглянуто в математичній літературі. 1960 року рівняння з'явилося серед завдань на олімпіаді імені Патнема, що підштовхнуло А. Гауснера до розширення результатів на алгебричні поля.

Розв'язки в дійсних числах

Нескінченну множину тривіальних розв'язків у додатних дійсних числах знаходять як розв'язок рівняння $x=y.$ Нетривіальні розв'язки можна знайти, поклавши $x\neq y,$$y=vx.$ Тоді

$(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.$

Піднесення обох частин до степеня ${\tfrac {1}{x}}$ із наступним діленням на $x$ дає

$v=x^{v-1}.$

Тоді нетривіальні розв'язки в додатних дійсних числах виражаються як

$x=v^{\frac {1}{v-1}},$

$y=v^{\frac {v}{v-1}}.$

Нетривіальний розв'язок у натуральних числах $4^{2}=2^{4}$ можна отримати, поклавши $v=2$ або $v={\tfrac {1}{2}}.$

Розв'язок в термінах W-функції Ламберта

Розв'язок рівняння $y^{x}=x^{y}$ можна також виразити через неелементарну W-функцію Ламберта $W(x)$ від змінної $x$:

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}$, зробимо заміну $x={\frac {1}{z}}$ :

$y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z}}}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y}}}$

Тепер змінну $z$ можна виразити через W-функцію Ламберта: $z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}$

Остаточно розв'язок виглядатиме так: $x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}$

Зокрема, через неоднозначність цієї функції, на проміжку $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1$ або $e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1$ рівняння матиме два корені $x_{1},x_{2}$.

Який із параметрів ($y$ чи $x$), буде змінною, по суті, не важливо, формула залишиться такою ж.

Якщо при змінній $x$ (або $y$) виконується нерівність $y$ (або $x$)< $e^{\frac {1}{e}}$, то коренів у дійсних числах немає.

Розв'язок у термінах суперкореня другого степеня

Рівняння $y^{x}=x^{y}$ є окремим випадком рівняння $y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const$ при $b=1$ і $n=y$. Підставивши ці значення в загальну формулу розв'язку, легко знайти і розв'язок початкового рівняння:

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1}}}}}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y}}}{\Bigr )}{\biggr )}$

Цей розв'язок повніший, оскільки дозволяє отримати від'ємні дійсні корені, якщо вони існують (бо логарифм, на відміну від експоненти в попередньому розв'язку, може бути меншим за нуль). Існування третього кореня пояснюється еквівалентністю рівнянь $y^{x}=x^{y}$ і $y^{x}=(-x)^{y}$ при парному $y$, однак, на практиці, існує тільки, максимум, два дійсних корені (третій корінь у формулі обов'язково сторонній) через те, що функція суперкореня другого степеня $f(z)={}^{\frac {1}{2}}z$ обернена до описаної вище функції $f(z)=z^{z}$ (інакше $f(z)={}^{2}z$), яка виражається через W-функцію Ламберта, яка, у свою чергу, набувати більше двох дійсних значень не може.

З цього розв'язку випливає тотожна рівність: $-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}$. Це легко довести, прирівнявши обидва описані вище розв'язки один до одного:

$-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$, далі відповідно до властивостей логарифма та суперкореня другого степеня:

$\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$ . Доведена тотожність є часткою від загальнішого випадку при $b=-y$.

Посилання

• Rational Solutions to x^y = y^x. CTK Wiki Math.
• x^y = y^x — commuting powers. Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke. Архів оригіналу за 28 грудня 2015.
• dborkovitz (29 січня 2012). Parametric Graph of x^y=y^x. GeoGebra.
• послідовність A073084 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS: Десятковий розклад -x, де x — від'ємний розв'язок рівняння 2^x = x²